20 Exercícios De Equação Do 2º Grau Para 9º Ano: Prepare-se para dominar as equações do segundo grau! Este guia completo te levará por uma jornada de aprendizado, desde os tipos de equações e métodos de resolução até aplicações práticas e interpretação geométrica. Vamos desvendar os mistérios das parábolas e suas relações com as raízes das equações, tudo de forma clara e didática, com exemplos práticos que vão te deixar craque no assunto.
Prepare a caneta e o caderno, porque a aventura matemática está apenas começando!
Abordaremos os três tipos principais de equações do segundo grau, mostrando passo a passo como resolvê-las usando a fórmula de Bhaskara e o método da fatoração. Veremos como modelar problemas do mundo real usando equações do segundo grau e interpretaremos os resultados no contexto de cada situação. Além disso, exploraremos a representação gráfica das equações, analisando parábolas e suas características, como concavidade, vértice e raízes.
Tipos de Equações do 2º Grau e Métodos de Resolução
Equações do segundo grau são expressões algébricas da forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. Compreender seus diferentes tipos e métodos de resolução é fundamental para o domínio da matemática no 9º ano. A classificação das equações e a escolha do método de resolução mais eficiente são pontos-chave para a obtenção de soluções corretas e eficazes.
Tipos de Equações do 2º Grau
As equações do segundo grau podem ser classificadas em três tipos principais, dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c:
- Equação Completa: Neste tipo, todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero. Exemplo: 2x² + 5x – 3 = 0.
- Equação Incompleta (b = 0): O coeficiente b é igual a zero, resultando na forma ax² + c =
0. Exemplo: 3x²
-12 = 0. - Equação Incompleta (c = 0): O coeficiente c é igual a zero, resultando na forma ax² + bx =
0. Exemplo: x²
-4x = 0.
Método da Fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara é um método geral para resolver equações do segundo grau, aplicável a todos os tipos. Ela fornece as raízes (ou soluções) da equação através da seguinte fórmula:
x = (-b ± √(b²
4ac)) / 2a
Onde:* x representa as raízes da equação;
- a, b e c são os coeficientes da equação;
- ± indica que existem duas possíveis soluções (uma com + e outra com -).
Exemplo de Equação Completa (Fórmula de Bhaskara)
Resolvamos a equação 2x² + 5x – 3 = 0 utilizando a fórmula de Bhaskara:a = 2, b = 5, c = -3x = (-5 ± √(5²
- 4
- 2
- -3)) / (2
- 2)
x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4x = (-5 ± √49) / 4x = (-5 ± 7) / 4Portanto, as raízes são:x₁ = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2x₂ = (-5 – 7) / 4 = -12/4 = -3
Exemplo de Equação Incompleta (b = 0) (Fórmula de Bhaskara)
Resolvamos a equação 3x²
12 = 0 usando a fórmula de Bhaskara
a = 3, b = 0, c = -12x = (0 ± √(0²
- 4
- 3
- -12)) / (2
- 3)
x = (± √144) / 6x = (± 12) / 6Portanto, as raízes são:x₁ = 12/6 = 2x₂ = -12/6 = -2
Exemplo de Equação Incompleta (c = 0) (Fórmula de Bhaskara)
Resolvamos a equação x²
4x = 0 usando a fórmula de Bhaskara
a = 1, b = -4, c = 0x = (4 ± √((-4)²
- 4
- 1
- 0)) / (2
- 1)
x = (4 ± √16) / 2x = (4 ± 4) / 2Portanto, as raízes são:x₁ = (4 + 4) / 2 = 4x₂ = (4 – 4) / 2 = 0
Método da Fatoração
A fatoração é um método alternativo para resolver equações do segundo grau, especialmente eficiente em equações incompletas ou em equações completas onde a fatoração é facilmente identificável. Este método consiste em transformar a equação em um produto de fatores que, igualados a zero, fornecem as raízes.A fórmula de Bhaskara é mais geral e sempre funciona, enquanto a fatoração depende da habilidade em identificar fatores.
A fatoração é mais rápida quando possível, mas a fórmula de Bhaskara garante a solução em todos os casos.
Passos para Resolver uma Equação do 2º Grau Completa Usando a Fórmula de Bhaskara
| Passo | Ação | Exemplo (2x² + 5x – 3 = 0) | Resultado |
|---|---|---|---|
| 1 | Identifique os coeficientes a, b e c. | a = 2, b = 5, c = -3 | |
| 2 | Substitua os valores de a, b e c na fórmula de Bhaskara. | x = (-5 ± √(5²
|
|
| 3 | Calcule o discriminante (Δ = b² – 4ac). | Δ = 25 + 24 = 49 | Δ = 49 |
| 4 | Calcule as raízes x₁ e x₂ usando a fórmula. | x₁ = (-5 + 7) / 4 = 1/2; x₂ = (-5 – 7) / 4 = -3 | x₁ = 1/2; x₂ = -3 |
Aplicações Práticas de Equações do 2º Grau
As equações do segundo grau, apesar de parecerem um tema abstrato da matemática, possuem diversas aplicações práticas em situações do dia a dia, auxiliando na resolução de problemas em diferentes áreas, como física, engenharia e economia. Compreender a modelagem matemática desses problemas é fundamental para sua resolução eficaz.
Problemas-Texto e Modelagem Matemática
A seguir, são apresentados três problemas que demonstram a utilidade das equações do segundo grau em situações reais. A modelagem matemática de cada problema é detalhada, mostrando como a situação real é traduzida em uma equação que pode ser resolvida utilizando os métodos aprendidos.
Problema 1: Área de um Terreno Retangular
Um terreno retangular tem 10 metros a mais de comprimento do que de largura. Se a área do terreno é de 144 m², quais são as dimensões do terreno? Modelagem Matemática: Seja x a largura do terreno. O comprimento será x + A área é dada por comprimento x largura, então temos a equação: x(x + 10) = 144. Expandindo a equação, obtemos x² + 10x – 144 = 0.
Essa é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Resolução: Utilizando a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b²4ac)) / 2a, onde a = 1, b = 10, e c = -144. Resolvendo, encontramos x = 8 ou x = -18. Como a largura não pode ser negativa, a largura é 8 metros.
O comprimento é x + 10 = 18 metros. Interpretação: As dimensões do terreno são 8 metros de largura e 18 metros de comprimento.
Problema 2: Lançamento de um Objeto, 20 Exercícios De Equação Do 2º Grau Para 9º Ano
Um objeto é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20 m/s. Sua altura (h) em metros, após t segundos, é dada pela equação h = -5t² + 20t. Após quantos segundos o objeto atinge a altura máxima? Modelagem Matemática: A altura máxima é atingida quando a velocidade é zero. A velocidade é a derivada da função altura em relação ao tempo: v = dh/dt = -10t + 20.
Igualando a velocidade a zero, temos -10t + 20 = 0, o que resulta em t = 2 segundos. Resolução: Substituindo t = 2 na equação da altura, encontramos h = -5(2)² + 20(2) = 20 metros. Interpretação: O objeto atinge sua altura máxima de 20 metros após 2 segundos.
Problema 3: Preço de Venda de um Produto
Uma empresa produz x unidades de um produto a um custo de C(x) = x²10x + 100 reais. O preço de venda de cada unidade é de R$ 30. Quantas unidades devem ser produzidas para que o lucro seja máximo? Modelagem Matemática: O lucro (L) é dado pela diferença entre a receita (R) e o custo (C): L(x) = R(x)
- C(x). A receita é dada por R(x) = 30x. Logo, L(x) = 30x – (x²
- 10x + 100) = -x² + 40x – 100. O lucro máximo ocorre no vértice da parábola, que pode ser encontrado usando a fórmula x = -b / 2a, onde a = -1 e b = 40.
Resolução: x = -40 / (2 – -1) = 20 unidades. Interpretação: A empresa deve produzir 20 unidades para maximizar o lucro.
Tabela Resumitiva
| Problema | Equação | Solução |
|---|---|---|
| Área do Terreno | x² + 10x – 144 = 0 | Largura = 8m, Comprimento = 18m |
| Lançamento de Objeto | h = -5t² + 20t | Altura máxima em 2 segundos (20m) |
| Preço de Venda | L(x) = -x² + 40x – 100 | Lucro máximo com 20 unidades |
Interpretação Geométrica e Gráficos: 20 Exercícios De Equação Do 2º Grau Para 9º Ano
A representação gráfica de uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0), é uma parábola. A compreensão da relação entre os coeficientes da equação e as características da parábola, como a sua concavidade, vértice e pontos de interseção com o eixo x (raízes), é fundamental para a resolução e interpretação de problemas.
Esta interpretação geométrica enriquece a compreensão algébrica das equações do segundo grau.A posição da parábola em relação ao eixo x revela informações cruciais sobre as raízes da equação. Os pontos onde a parábola intersecta o eixo x representam as raízes da equação. A análise da parábola permite determinar se a equação possui duas raízes reais e distintas, uma raiz real (raiz dupla) ou nenhuma raiz real (raízes complexas).
Relação entre Raízes e Pontos de Interseção
As raízes de uma equação do 2º grau são os valores de x que tornam a equação igual a zero. Geometricamente, essas raízes correspondem às abscissas (coordenadas x) dos pontos de interseção da parábola com o eixo x. Se a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos, a equação possui duas raízes reais e distintas. Se a parábola tangencia o eixo x (tocando-o em apenas um ponto), a equação possui uma raiz real (raiz dupla).
Se a parábola não intersecta o eixo x, a equação não possui raízes reais, possuindo, neste caso, raízes complexas.
Determinação do Vértice da Parábola
O vértice da parábola representa o ponto de máximo ou mínimo da função quadrática. As coordenadas do vértice (x v, y v) podem ser determinadas a partir dos coeficientes da equação ax² + bx + c = 0 usando as seguintes fórmulas:
xv = -b / 2a
yv = -Δ / 4a, onde Δ = b²
4ac (o discriminante)
O valor de x v indica a abscissa do vértice, e y v indica a ordenada. O sinal de ‘a’ determina a concavidade da parábola: se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (vértice representa um mínimo); se a < 0, a concavidade é voltada para baixo (vértice representa um máximo).
Gráficos de Equações do 2º Grau
Para ilustrar, vamos descrever os gráficos de três equações:* Equação 1: x²
4x + 3 = 0 (Duas raízes reais e distintas)
Esta equação possui raízes x = 1 e x =
3. A parábola intersecta o eixo x nesses dois pontos. Calculando o vértice
x v = -(-4) / 2(1) = 2; y v = -(16 – 4(1)(3)) / 4(1) = -1. O vértice está em (2, -1). A parábola tem concavidade para cima, pois a = 1 > 0. A parábola é uma curva suave que se abre para cima, passando pelos pontos (1,0), (2,-1) e (3,0).* Equação 2: x²
6x + 9 = 0 (Uma raiz real)
Esta equação possui uma raiz dupla x = A parábola tangencia o eixo x no ponto (3,0). O vértice coincide com este ponto. Calculando o vértice: x v = -(-6) / 2(1) = 3; y v = -(36 – 4(1)(9)) / 4(1) = 0. O vértice está em (3, 0). A parábola tem concavidade para cima, pois a = 1 > 0.
A parábola é uma curva suave que toca o eixo x apenas em x = 3.* Equação 3: x² + 2x + 5 = 0 (Sem raízes reais)Esta equação não possui raízes reais, pois o discriminante Δ = 2²-4(1)(5) = -16 < 0. A parábola não intersecta o eixo x. Calculando o vértice: xv = -2 / 2(1) = -1; y v = -(-16) / 4(1) = 4. O vértice está em (-1, 4). A parábola tem concavidade para cima, pois a = 1 > 0.
A parábola é uma curva suave que se abre para cima, ficando totalmente acima do eixo x.
Relação entre Coeficientes e Características da Parábola
Os coeficientes da equação do 2º grau influenciam diretamente as características da parábola. O coeficiente ‘a’ determina a concavidade (para cima se a > 0, para baixo se a < 0) e o grau de abertura da parábola (quanto maior o valor absoluto de 'a', mais estreita a parábola). O vértice da parábola é determinado por 'a' e 'b', e as raízes são determinadas pelo discriminante (Δ = b² -4ac), que indica o número e a natureza das raízes. A constante 'c' representa o ponto de interseção da parábola com o eixo y.
Ao final desta jornada pelos 20 exercícios de equação do segundo grau, você terá consolidado seus conhecimentos sobre este importante tópico da matemática. Dominará diferentes métodos de resolução, compreenderá a relação entre as equações e suas representações gráficas, e estará apto a aplicar seus conhecimentos na resolução de problemas do cotidiano.
Lembre-se: a prática leva à perfeição! Continue praticando e explorando novos desafios matemáticos.